数学的用场

第8版()
专栏：

数学的用场
华罗庚
怎样开木料做成横梁
树！去掉枝叶，剥掉树皮，锯掉两头剩下树干，成为木料，一般可以作为一个圆柱体。怎样把它切成横梁才最受得起压力，不经计算也许会以为切成正方形的方柱就行了，实际不然！根据材料力学的考虑，以下的方法最好，最经得住压力。
把树干的直径AB分为三等分，在分点之一C作AB的垂直线，交圆周于D，以AD与BD为边的长方形为横截面的横梁，最受得起压力，也就是把这样的横梁以短边水平向，长边垂直向地安放，最受得起压力。
理论根据是什么？材料力学证明，一个底长为b，高长为h的长方形为横截面的横梁的强度与乘积bh2成比例，于是我们的问题一变而为取多么长x（＝BC）使bh2最大。（现在b＝BD，h＝AD），用d表直径AB。
由于三角形BDC与ABD相似，所以得b2＝dx，同样理由h2＝d（d－x），因此我们的问题一变而为求X使
（bh2）2＝dx〔d（d－x）〕2＝d3x（d－x）2最大，这儿x的变化范围是o到d。由于且仅当x＝d3时，等号所能出现，因此得且仅当x＝d3时，左边才可能等于右边，其它的情况，左边一定小于右边，这便是我们的理论根据。当x＝d3时，h＝√23d，b＝√13d，所以d∶h∶b＝√3∶√2∶1，所以这样横梁的高与底的比，是√2＝1．4……差不多是75，所以也可以用高底之比是7比5来要求。如果切成方柱，则b＝h＝1√2d，其强度与bh2＝1√8d3成比例。这儿所介绍的切法的强度与方柱的强度之比是1√3·23∶1√8，约增强了9％，但用材料的比是，即节约用材10％，因此，这样的切法，强度加强了9％，而材料节约了10％。